Доказать утверждение
 

Пусть N - любое натуральное число. Докажите, что в десятичной записи либо числа N, либо числа 3N найдётся одна из цифр 1, 2 или 9. Я нашёл доказательство, но оно не очень рациональное (как мне кажется). Я привёл его здесь, чтобы Вы проверили его. Также очень хочется увидеть Ваши варианты(может есть более короткие).
Если в числе встречаются числа 1, 2 или 9, то утверждение справедиво. Пусть теперь ни одно из этих чисел не встречается в N. Рассмотрим, какие из оставшихся цифр могут стоять в начале числа N. Это не могут быть 4, 5, 6(они дают при умножении на 3 единицу в следующий разряд, но тогда в числе 3N встретится единица) и 7, 8 (они, соответственно, дают двойку в след. разряд). Остаётся, что первой цифрой нашего числа может быть 0 либо 3. Ноль рассматривать не будем, так как он сводится к какому-либо из ненулевых путём зачёркивания нуля. Значит N может начинаться только с тройки. Далее возможны два варианта:
1) Вторая цифра числа - это ноль или три, но в этом случае первой цифрой числа 3N будет 9 (ноль о три не дают ничего в след. разряд при умн. на три);
2) Вторая цифра числа - 4, 5, 6, 7, 8, но тогда первой цифрой 3N будет 1 (9+1=10; 9+2=11).
Утверждение доказано.

вполне строгое доказательство (правда есть очепятки, но можно понять что имелось ввиду)

Молодец, возьми с полки пирожок.

P.S задача взята из журнала "Квант" 6/6 за 2005.