[Mg0]

По п.1. Как известно, электроника -- наука о контактах. Я, кстати, сомневаюсь в твоем диангозе. С равной, а то и бОльшей вероятностью причина может быть в критическом перегибе проводов к экрану. Тем не менее -- вскрыть, микруху видюхи пошатать/прижать /прогреть феном.
По п.п. 2-3. Вскрыть, подключить контакты к внешнему источнику с требуемой напругой и амперажем, и смотреть, что дальше. Будет работать -- менять батарею, нет -- контроллер системы питания.